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什么導(dǎo)致了成功，當(dāng)然有很多因素。有的人勤奮，有的人幸運(yùn)，有的人有貴人的幫助等等。但什么導(dǎo)致了失敗，原因也是很多的。但這里我只講三個(gè)容易導(dǎo)致我們失敗的原因，看了你一定會(huì)有收獲。

第一個(gè)原因：莫名其妙地湊熱鬧。假設(shè)你現(xiàn)在走在去圖書(shū)館的路上，打算去看一天復(fù)習(xí)資料。突然看到路邊一堆人聚集在一起，不知道看什么。你也上去圍觀，看了一會(huì)兒，才去圖書(shū)館學(xué)習(xí)，結(jié)果浪費(fèi)了學(xué)習(xí)的時(shí)間。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，心中還老想著剛才發(fā)生的事兒，導(dǎo)致自己的復(fù)習(xí)效果也很差。其實(shí)，既然是路邊的熱鬧，那就一定是與你無(wú)關(guān)的?。≡僬f(shuō)路邊能發(fā)生啥事？無(wú)非就是倆人吵架了之類(lèi)的，跟你有什么關(guān)系?。堪堰@些時(shí)間用來(lái)學(xué)習(xí)，提高一兩分不好么？

第二個(gè)原因：心急火燎地隨大流。有些同學(xué)看到身邊的人都去聽(tīng)了這個(gè)課程，買(mǎi)了那本資料，抄了幾個(gè)模板。于是跟風(fēng)效仿，也開(kāi)始東一榔頭西一棒槌的跟風(fēng)。最終的結(jié)果，就是自己欠缺的地方，一點(diǎn)都沒(méi)補(bǔ)上來(lái)，跟風(fēng)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，最后也證明沒(méi)多大用處。何必呢，老老實(shí)實(shí)的把自己的基礎(chǔ)打扎實(shí)，把自己的漏洞補(bǔ)上去才是正道??！

第三個(gè)原因：操碎了別人的心肝。我們有些同學(xué)是追星一族。啊！今天偶像受傷了！咦！明星又出緋聞了！哎呦！這個(gè)誰(shuí)誰(shuí)誰(shuí)又獲獎(jiǎng)了！我只想說(shuō)，跟你有啥關(guān)系啊，天天為偶像操碎了心，自己的學(xué)習(xí)也沒(méi)學(xué)好，還不如把這閑工夫用來(lái)孝敬爹媽呢？你說(shuō)對(duì)不？

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概率題中，經(jīng)常會(huì)看到這類(lèi)題：題中有“至多”、“至少”的字眼。這類(lèi)題很多學(xué)生容易讀錯(cuò)題意，或者是在分類(lèi)計(jì)算的時(shí)候，分錯(cuò)類(lèi)，或者重復(fù)分類(lèi)，或者有遺漏。今天我們就來(lái)做幾道這樣的題，希望能徹底掌握這類(lèi)題的做法?？搭}：

一盒中裝有20個(gè)大小相同的小球，其中紅球10個(gè)，白球6個(gè)，黃球4個(gè)。某人隨手拿出4個(gè)，則至少有3個(gè)紅球的概率為

隨手抓出4個(gè)球，至少有3個(gè)紅球，那是什么意思？就是最少3個(gè)紅球唄，最少3個(gè)，那就還可以再多一些，由于只抓出來(lái)4個(gè)，所以紅球還可以是4個(gè)。所以這道題分成兩類(lèi)情況：第一類(lèi)，4個(gè)球中，有3個(gè)紅球，1個(gè)其他顏色的球。第二類(lèi)，4個(gè)球中，4個(gè)都是紅球。

首先來(lái)算分母，總共是20個(gè)球，從中間抓4個(gè)，那這就是分母了：

然后第一類(lèi)，4個(gè)球中有3個(gè)紅球，那就是從總共10個(gè)紅球中，抓出3個(gè)紅球。剩余的一個(gè)其他顏色的球呢？從剩余的10個(gè)球中抓取。所以第一類(lèi)的情況是：

第二類(lèi)呢，4個(gè)球中，全部都是紅球，那就是從總共10個(gè)紅球中，抓出4個(gè)紅球。所以第二類(lèi)的情況是：

所以這道題：抓出4個(gè)球，至少3個(gè)紅球的概率是：

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這是我們從正面來(lái)分析解答的一道題，有的時(shí)候，你正面去做，反而不太容易做出來(lái)，或者說(shuō)，沒(méi)有反面考慮那么簡(jiǎn)單。那我們來(lái)一道題瞧瞧：

某班有兩個(gè)課外活動(dòng)小組，其中第一小組有足球票6張，排球票4張。第二小組有足球票4張，排球票6張。甲從第一小組的10張票中任抽1張，乙從第二小組的10張票中任抽1張。則兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？

這道題是甲乙手里各有1張票，問(wèn)甲乙兩人至少有1人抽到足球票的概率。那我們把問(wèn)題分成三類(lèi)。第一類(lèi)，甲手里足球票，乙手里排球票。第二類(lèi)，甲手里排球票，乙手里足球票。第三類(lèi)，甲乙手里都是足球票。那如果人數(shù)再多一些，我們的分類(lèi)就會(huì)更多，這時(shí)候有沒(méi)有簡(jiǎn)單的方法來(lái)計(jì)算呢？

有的！我們的方法就是：正難則反。意思就是，正面去做搞不定，那就從反面來(lái)搞定它。

這道題說(shuō)甲乙兩人至少有1人有足球票，那反過(guò)來(lái)是啥？反過(guò)來(lái)就是誰(shuí)手里都沒(méi)有足球票啊！都沒(méi)有足球票，那就是甲乙手里都是排球票。而且，你發(fā)現(xiàn)沒(méi)有？反面的情況就這一種哎，很好計(jì)算哎！

那甲抽中排球的概率是：

那乙抽中排球的概率是：

那甲乙同時(shí)抽中排球的概率是：

那它的反面，就是我們要求的概率，就用全部的概率（也就是1）減去這個(gè)概率，即：

你看，有時(shí)候反其道而行之，反而是最有效的方法。

3

上面兩個(gè)講的都是“至少”的問(wèn)題，下面我們來(lái)個(gè)“至多”的問(wèn)題來(lái)分析分析?？搭}：

一批產(chǎn)品中共10件，其中有2件次品，現(xiàn)隨機(jī)地抽取5件，則5件中至多有1件次品的概率為

5件產(chǎn)品中，至多1件次品啥意思？那就是最多有1件次品。它分為兩種情況，第一類(lèi)，4件正品，1件次品。第二類(lèi)，5件正品，0件次品。

先求分母，分母就是10件產(chǎn)品，隨機(jī)抽取5件，那就是：

對(duì)于第一類(lèi)，4件正品是從8件正品中抽取出來(lái)。1件次品是從2件次品中抽取出來(lái)。那就是：

對(duì)于第二類(lèi)，5件正品全部是從8件正品中抽取出來(lái)。那就是：

因此，概率就是：

這道題我們是從正面來(lái)做的，反面當(dāng)然也可以做，不過(guò)反面沒(méi)有正面簡(jiǎn)單而已。其實(shí)這道題如果改成：一批產(chǎn)品中共10件，其中有5件次品，現(xiàn)隨機(jī)地抽取5件，則5件中至多4件次品的概率為（）。這時(shí)候我們就可以用反面來(lái)做了，你來(lái)做做試試？

好，今天的內(nèi)容我們就講解到這里。歡迎大家關(guān)注我們的公眾號(hào)，我們會(huì)持續(xù)分享院校信息、課程的推送、各科目的復(fù)習(xí)知識(shí)等內(nèi)容，一定對(duì)您的考研有很大幫助。您的關(guān)注，是我們持續(xù)的動(dòng)力。我們下期再見(jiàn)！